Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，若数列{a_n}的前2n项和S_2n＜3p+1恒成立，则实数p的取值范围是[$\frac{7}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，利用等比数列的前n项和公式可得：S_2n，转化为（S_2n）_max≤3p+1，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，
∴数列的前2n项和S_2n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$．
∵数列{a_n}的前2n项和S_2n＜3p+1恒成立，
∴8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$＜3p+1恒成立．
∴（S_2n）_max≤3p+1，
∴8≤3p+1，
解得p≥$\frac{7}{3}$．
∴实数p的取值范围是[$\frac{7}{3}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{7}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、恒成立转化问题、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．