Question

17．已知sinα=$\frac{2}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求cos（$\frac{π}{3}$+α），sin（$\frac{π}{3}$-α）的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和与差的正弦函数公式，余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵sinα=$\frac{2}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{5}}{3}）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$，
sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=-$\frac{\sqrt{15}+2}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．