Question

已知函数f（x）=ax²+

1

2

x+

1

4

(a为实数），若函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（-3，2]时函数f（x）的值域；
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的值域与图象的关系，得到对应方程根的判别式为0，求出a值，得到f（x）的解析式；（2）根据二次函数的开口方向和对称轴方程，结合定义区间，通过图象特征得到函数的最值情况，求出函数f（x）在（-3，2]上的值域；（3）根据g（x）=f（x）-kx是单调函数，得到函数的对称轴和区间的关系，从而求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+

1

2

x+

1

4

(a为实数）的值域为[0，+∞），
∴对应方程根的判别式为0，
即△=0，
(

1

2

)2-4×

1

4

×a=0，
∴a=

1

4

．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）∵函数f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∴函数f（x）图象的对称轴方程为：x=-1．
当x∈（-3，2]时，
[f（x）]_min=f（-1）=0，
[f（x）]_max=f（2）=

9

4

，
∴函数f（x）的值域为：[0，

9

4

]；
（3）∵f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f（x）-kx=

1

4

x2+（

1

2

-k）x+

1

4

，
∴函数g（x）的对称轴方程为：x=2k-1．
∵当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，
∴2k-1≤-2或2k-1≥2，
∴k≤-

1

2

或k≥

3

2

．

点评：本题考查了函数的性质与图象的关系，重点研究了二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．