Question

已知函数y=

x

x-1

，则下列四个命题中错误的是（　　）

• A．该函数图象关于点（1，1）对称
• B．该函数的图象关于直线y=2-x对称
• C．该函数在定义域内单调递减
• D．将该函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度后与函数y=

  1

  x

  的图象重合

Answer 1

分析：由于y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，把y=

1

x

向右，向上分别平移1个单位即可得到y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象，从而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象可判断选项A，D
由于函数y=

1

x

的图象关于y=-x对称，根据函数的图象的平移可知函数y=

x

x-1

的图象关于y=-（x-1）+1=2-x对称；y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，

解答：解：∵y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

把y=

1

x

向右，向上分别平移1个单位即可得到y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象，从而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的图象关于点（1，1）对称，故A正确，D正确
由于函数y=

1

x

的图象关于y=-x对称，根据函数的图象的平移可知函数y=

x

x-1

的图象关于y=-（x-1）+1=2-x对称，故B正确
y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故C错误
故选C

点评：本题主要考察了函数的图象的平移，函数的单调性及函数的对称性的应用，解题的关键是以反比例函数为模型，结合函数的图象变换