Question

2．下列有关命题的说法正确的有①②④⑥⑦⑧
①已知命题p：-4＜x-a＜4，命题q：（x-1）（x-3）＜0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是[-1，5]；
②已知命题p：若$\overrightarrow{a}$=（1，2）与$\overrightarrow{b}$=（-2，λ）共线，则λ=-4，命题q：?k∈R，直线y=kx与圆x²+y²-2y=0相交，则￢p∨q是真命题；
③命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；
④命题“若x=v，则cosx=cosv”的逆否命题为真命题；
⑤命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题；
⑥若x，y∈R，则“x=y“是xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²成立的充要条件；
⑦对命题p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，则x²+x+1≥0；
⑧命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b，则2^a≤2^b-1”．

Answer 1

分析 ①先求出命题p，q成立的等价条件，利用充分而不必要条件的定义，即可得到结论．
②利用向量共线判断P的正误，判断命题q的正误，判断说明真假．
③利用特称命题与全称命题的否定关系判断正误即可．
④利用四种命题的等价关系判断正误即可．
⑤写出逆命题，然后判断真假即可．
⑥利用特例判断充要条件即可．
⑦利用特称命题与全称命题的否定关系判断正误即可．
⑧利用四种命题的逆否关系写出结果即可．

解答 解：对于①，由-4＜x-a＜4得a-4＜x＜a+4，
由（x-1）（x-3）＜0得1＜x＜3，
∵q是p的充分而不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+4≥3\\ a-4≤1\end{array}\right.$，
∴-1≤a≤5，即a的取值范围是[-1，5]．所以①正确．
对于②，已知命题p：若$\overrightarrow{a}$=（1，2）与$\overrightarrow{b}$=（-2，λ）共线，可得-4=λ即λ=-4，所以P正确；￢p错误．
命题q：?k∈R，直线y=kx与圆x²+y²-2y=0表示以（0，1）为圆心以1为半径的圆，圆过原点，所以直线y=kx与圆x²+y²-2y=0相交，q是真命题，则￢p∨q是真命题；所以②正确．
对于③，命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；不满足命题的否定形式，所以③不正确．
对于④，命题“若x=v，则cosx=cosv”是真命题，所以它的逆否命题为真命题；④正确．
对于⑤，命题“若an²＜bn²，则a＜b”的逆命题是：若a＜b，an²＜bn²，当n≠0时，an²＜bn²．所以⑤不正确．
对于⑥，若x，y∈R，则“x=y”可得xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²成立，若x，y∈R，xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²，可得0≥（x-y）²，
可得x=y，所以判断为充要条件；正确．
对于⑦，对命题p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，则x²+x+1≥0，满足特称命题与全称命题的否定关系，正确．
对于⑧，命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b，则2^a≤2^b-1”．满足否命题的形式，正确．
故正确结果为：①②④⑥⑦⑧．
故答案为：①②④⑥⑦⑧．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，命题的否定，四种命题的逆否关系，命题的真假的判断与应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键．