Question

如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

（Ⅰ）证明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE与D₁F所成的角;

（Ⅲ）证明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）设AA₁=2,求三棱锥E-AA₁F的体积V_E-AA1F.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方体,

∴AD⊥面DC₁.

又D₁F 面DC₁,

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中点G,连结A₁G,FG.

因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四边形,A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H,∠AHA₁是AE与D₁F所成的角.

因为E是BB₁的中点,所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH,

从而∠AHA₁=90°,也即直线AE与D₁F所成的角为直角.                               

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F,由（Ⅱ）知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,

所以D₁F⊥面AED.

又因为D₁F 面A₁FD₁,所以面AED⊥面A₁FD₁.（Ⅳ）∵体积V_E-AA1F=V_F-AA1E,

又FG⊥面ABB₁A₁,三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2,

∴