Question

本小题满分12分）
已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：
有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
w.

Answer 1

(1), m＝1
(2) [－12，0]

．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，     得．∵m＜3，∴m＝1． 2分
圆C：．设直线PF₁的斜率为k，
则PF₁：，即．∵直线PF₁与圆C相切，
∴．
解得．  ……………… 4分
当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．           …………………… 5分
2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．
椭圆E的方程为：．             …………………… 7分
(法二)直接设直线的方程为：去求c . 2
（Ⅱ），设Q（x，y），，
．            …………………… 9分
（法一）设,则是直线在轴上的截距，所以当
，取得最大值与最小值，把直线方程代入椭圆方程得：由，
得，的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．   ……… 12分
(法二)∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．                    
则的取值范围是[0，36]．     
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]． …………………… 12分