Question

8．已知椭圆的焦距为6，在x轴上的一个焦点F与短轴两端点的连线互相垂直．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线$y=\frac{1}{2}x+1$与椭圆相交于A．B．求△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质可知：c=b=3．则a²=b²+c²=18，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨，分别求得当F（-3，0）及F（3，0），利用点到直线的距离公式，即可求得△ABF的面积．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A₁FA₂为一等腰直角三角形，OF为斜边A₁A₂的中线（高），且丨OF丨=c，丨A₁A₂丨=2b，
∴c=b=3．则a²=b²+c²=18．
∴椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4x-32=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{32}{3}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
当F（-3，0），则F到直线AB的距离d=$\frac{丨2×0+3-2丨}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△ABF的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{5}{3}$，
当F（3，0），则F到直线AB的距离d=$\frac{丨2×0-3-2丨}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABF的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$×$\sqrt{5}$=$\frac{25}{3}$，
△ABF的面积$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．