Question

9．已知函数f（x）=2acos²x+2$\sqrt{3}$bsinxcosx，且f（0）=2，f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$+1．
（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；
（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式可以化简f（x）得到f（x）=$a（1+cos2x）+\sqrt{3}bsin2x$，根据f（0）=2，$f（\frac{π}{4}）=\sqrt{3}+1$便可求出a=1，b=1，从而得出$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，容易得到f（x）的最大值为3，而根据正弦函数的单调性便可得出该函数的单调递减区间；
（2）根据条件得到$sin（2α+\frac{π}{6}）=sin（2β+\frac{π}{6}）$，而$2α+\frac{π}{6}≠2β+\frac{π}{6}$，且$2α+\frac{π}{6}，2β+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，从而便可得到$2α+\frac{π}{6}+2β+\frac{π}{6}=π$，或3π，进一步便可得出α+β的值，从而可求出tan（α+β）的值．

解答 解：$f（x）=a（1+cos2x）+\sqrt{3}bsin2x$；
∴f（0）=2a=2；
∴a=1；
又$f（\frac{π}{4}）=a+\sqrt{3}b=1+\sqrt{3}b=\sqrt{3}+1$；
∴b=1；
∴$f（x）=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
∴（1）$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即$x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$时，f（x）取得最大值3；
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$得，$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z$；
∴f（x）的单调递减区间为$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]，k∈Z$；
（2）由f（α）=f（β）得，$sin（2α+\frac{π}{6}）=sin（2β+\frac{π}{6}）$；
∵α≠β，α，β∈（0，π）；
∴$2α+\frac{π}{6}≠2β+\frac{π}{6}$，$2α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}），2β+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$；
∴$（2α+\frac{π}{6}）+（2β+\frac{π}{6}）=π$，或3π；
∴$α+β=\frac{π}{3}$，或$\frac{4π}{3}$；
∴$tan（α+β）=\sqrt{3}$．

点评 考查二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的最大值和单调区间，清楚α≠β时，由sinα=sinβ得到α+β=（2n+1）π，n∈Z．