题目内容
已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，8b=5c，∠C=2∠B，求cosC．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．
解答：
解：∵在△ABC中，8b=5c，C=2B，
∴由正弦定理得：8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，
∴cosB=
，
∵B为三角形内角，
∴B∈（0，
），C＜
，
∴sinB=
=
，
∴sinC=sin2B=2×
=
，
则cosC=
=
．
∴由正弦定理得：8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，
∴cosB=
| 4 |
| 5 |
∵B为三角形内角，
∴B∈（0，
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴sinB=
| 1-cos2B |
| 3 |
| 5 |
∴sinC=sin2B=2×
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
则cosC=
| 1-sin2C |
| 7 |
| 25 |
点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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