Question

已知函数f（x）=

x-21-x，x≥1 x3-3x+2，x＜1

，则方程2f（x）=1的根的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据解析式利用导数判断在（-∞，-1）（1，+∞）单调递增，（-1，1）单调递减，极大值f（-1）=4，极小值f（1）=0，画出图象可判断答案．求出

解答： 解：∵函数f（x）=

x-21-x，x≥1 x3-3x+2，x＜1

，
∴x∈[1，+∞）单调递增，
f（1）=1-1=0，
当x＜1时，f（x）=x³-3x+2，
f′（x）=3x²-3，x＜1，
f′（x）=3x²-3=0，x=±1，
f′（x）=3x²-3＞0，x＞1（舍去），x＜-1，
f′（x）=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴在（-∞，-1）（1，+∞）单调递增，（-1，1）单调递减，
极大值f（-1）=4，极小值f（1）=0，
∴f（x）=

1

2

，
f（x）与y=

1

2

交点3个，
∴方程2f（x）=1的根的个数为3，
故选：C

点评：本题考查了运用导数判断函数的单调性，极值，结合图象判断函数交点个数，方程的根的问题，属于中档题．