Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$，$\overrightarrow d$=2$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$，当实数k取何值时：
（1）$\overrightarrow c⊥\overrightarrow d$．
（2）$\overrightarrow c∥\overrightarrow d$．

Answer 1

分析 （1）可先由条件得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$，而$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$时，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$，从而可得到32-6（4+k）+18k=0，这样即可求出k的值；
（2）根据条件可知$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$不共线，从而由$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{d}$可得$\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{c}$，即得到$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=x\overrightarrow{a}+2x\overrightarrow{b}$，从而由平面向量基本定理即可得到关于k，x的方程组，解方程组即可得出k的值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°=-6$；
（1）若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，则$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$；
即$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+（4+k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2k{\overrightarrow{b}}^{2}$=32-6（4+k）+18k=0；
∴$k=-\frac{2}{3}$；
即$k=-\frac{2}{3}$时，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
（2）若$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{d}$，根据题意知，$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$都为非零向量且不共线；
∴存在x，使$\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{c}$；
即$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=x\overrightarrow{a}+2x\overrightarrow{b}$；
∴由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x=k}\end{array}\right.$；
∴k=4；
即k=4时，$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{d}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，以及平面向量和共线向量基本定理．