Question

8．如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{NM}$．若$\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x²+9y²的最小值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 不妨设$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BC}$，0＜λ＜1，根据向量的加减的几何意义可得x=$\frac{2-2λ}{3}$，y=$\frac{2λ}{3}$，代入得到x²+9y²=$\frac{40}{9}$（λ-$\frac{1}{10}$）²+$\frac{2}{5}$，即可求出最值．

解答 解：不妨设$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BC}$，0＜λ＜1，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2-2λ}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，
∴x=$\frac{2-2λ}{3}$，y=$\frac{2λ}{3}$，
∴x²+9y²=$\frac{（2-2λ）^{2}}{9}$+4λ²=$\frac{40}{9}$λ²-$\frac{8λ}{9}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{40}{9}$（λ-$\frac{1}{10}$）²+$\frac{2}{5}$，
当λ=$\frac{1}{10}$时，x²+9y²有最小值，最小值为$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题