Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此长方体的顶点都在半径为的球面上，则DC₁与B₁C所成角的余弦值是________，棱AA₁的长度为________．

Answer 1

    2
分析：设棱AA₁的长度为a，根据长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，可知BC的长度为a，CD的长度为a，利用长方体的顶点都在半径为的球面上，可求棱AA₁的长度；连接AB₁，AC，则AB₁∥DC₁，则∠A₁B₁C（或其补角）为DC₁与B₁C所成角，在△A₁B₁C中，，利用余弦定理可求DC₁与B₁C所成角的余弦值
解答：解：设棱AA₁的长度为a
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°
∴BC的长度为a，CD的长度为a
∵长方体的顶点都在半径为的球面上
∴
∴a=2
即棱AA₁的长度为2
连接AB₁，AC，则AB₁∥DC₁，
∴∠A₁B₁C（或其补角）为DC₁与B₁C所成角
在△A₁B₁C中，
∴
故答案为：，2
点评：本题考查的重点是线线角，考查长方体中棱长的计算，求线线角的关键是利用平移法，作出线线角．