Question

【题目】某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧和两条线段，构成.已知圆心O在线段上，现测得圆O半径为2百米，，.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为，上底为，点M在圆弧（点D在圆弧上，且）上，点N在圆弧上或线段上.设.

（1）将梯形的面积表示为的函数；

（2）当为何值时，梯形的面积最大？求出最大面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，梯形的面积取得最大值平方百米.

【解析】

(1)结合点N的位置分析角相应的取值范围，分情况讨论即可求解；

(2)根据(1)的函数，利用导数研究单调性即可求解函数的最大值.

（1）因为点M在圆弧上，，当点M分别与点A，D重合时，梯形不存在，

所以.

过点B作，且交圆弧于点，连结，因为，所以.

由垂径定理可知垂直平分，

因此，，

因此，当时，点N在圆弧上，当上时，点N在线段上.

设，

①当时，因为，所以.

又，所以.

由垂径定理可知，在中，，

，

因为，所以在中，，，

所以梯形的面积

；

②当时，因为，，，

所以四边形为矩形，故，

所以梯形的面积

.

综上，

（2）①当时，，

.

因为时，，

所以，

故在上单调递减，.

②当时，，

.

因为时，，

所以，

故在上单调递增，.

综上，当且仅当时，梯形的面积取得最大值平方百米.