Question

【题目】如图，在四棱锥中， ， ， ，平面底面， ，

和分别是和的中点，求证：

（1）平面；

（2）；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由已知得ABCD是平行四边形，从而AD∥BE，又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，即可证得BE∥平面PAD；

（2）根据面面垂直的性质可得PA⊥平面ABCD，故而PA⊥BC；

（3）先证CD⊥平面PAD得出CD⊥PD，故而CD⊥EF，再证四边形ABED是矩形得出CD⊥BE，从而CD⊥平面BEF，于是平面BEF⊥平面PCD．

试题解析：

（1）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴BE∥AD．

又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，

∴BE∥平面PAD．

（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PA⊥平面ABCD．

∵BC平面ABCD

∴PA⊥BC

（3）在平行四边形ABED中，AB⊥AD，

∴ABED为矩形，

∴BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD．

∵E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

∵CD平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD．