Question

【题目】已知线段的端点，端点在圆上运动

(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程.

(Ⅱ) 设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）当点为时，直线与直线关于x轴对称.

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 设点C的坐标为，利用相关点法结合中点坐标公式可得，整理化简可得C的轨迹方程为；

(Ⅱ) 设，联立直线与圆的方程可得，满足直线与直线关于轴对称时，据此可得，结合韦达定理得到关于实数t的方程，解方程有，即当点为时，直线与直线关于x轴对称.

试题解析：

（Ⅰ）设点C的坐标为，利用中点坐标公式可得，点A在圆上，则： ，化简可得其轨迹方程为；

（Ⅱ） 设，

由得， ,

所以

若直线与直线关于轴对称，则，

即

所以当点为时，直线与直线关于轴对称.