Question

【题目】已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和;

(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) (3) 不存在不同的三项，，，使之成等差数列.理由见解析

【解析】

(1)利用通项公式与前n项和的关系可求得数列的通项公式，构造新数列为等差数列，首先求得，然后可得数列的通项公式，注意分情况讨论和两种情况；

(2)结合(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减求和的方法可得数列的前项和;

(3)利用反证法，首先假设存在不同的三项，，满足题意，然后结合所给的表达式得出矛盾即可说明满足题意的三项是不存在的.

(1)当时，.

，①

当时，.②

①-②得，，

，故成等比数列，公比，

又，.

，，

数列是一个首项为，公差为的等差数列，

，，

当时，，

且满足，

.

（2），

.①

.②

①-②，得.

.

（3）且，.

假设存在不同的三项，，，恰好构成等差数列，则，

即，化简得.

两边同除以，得.（*）

不妨设，则，则，且，，与（*）矛盾.

不存在不同的三项，，，使之成等差数列.