Question

【题目】已知函数 ，其中 .

（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；

（2）若函数 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为；

(2)求解函数的导数，然后讨论函数的性质可得实数的取值范围是 .

试题解析：

（1）当则

又则切线的斜率，

所以函数在处的切线方程为．

（2）， ，则，

令，

①若，则，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；

②若， ，该二次函数开口向下，对称轴， ，

所以在上有且仅有一根，故，

且当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；

③若， ，该二次函数开口向上，对称轴．

（ⅰ）若，即， ，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；

（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有两根， ，故，且

当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

当时， ， ，函数在上单调递增；

所以函数在上有两个不同的极值点，故不符题意，舍去，

综上所述，实数的取值范围是．