Question

10．如果实数x，y满足（x+2）²+y²=3，则$\frac{y}{x}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设$\frac{y}{x}$=k，$\frac{y}{x}$的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案

解答 解：设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．
所以求$\frac{y}{x}$的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，
如图示：
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，
此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．
易得|OC|=2，|CE|=r=$\sqrt{3}$，可由勾股定理求得|OE|=1，
于是可得到k=tan∠EOC=$\frac{|CE|}{|OE|}$=$\sqrt{3}$，即为$\frac{y}{x}$的最大值．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．