Question

函数f(x)=

1

x

-log2(

1+x

1-x

)的零点个数为

2个

．

Answer 1

分析：先求函数的定义域，再判函数的奇偶性，再证函数的单调性，最后用函数零点的判定定理．

解答：解：要使函数有意义，只需

1+x

1-x

＞0且x≠0，解得：{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}，
所以定义域关于原点对称，而f(-x)=-【

1

x

-log2(

1+x

1-x

)】，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
因为f′(x)=[

1

x

-log2(

1+x

1-x

)]′=-

1

x2

-

1

1+x 1-x ln2

(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1

1+x 1-x ln2

2

(1-x)2

=-[

1

x2

+

2

(1-x)2ln2

]
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上为减函数，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-1，0）上为减函数，
因为f(

1

2

)=2- log23  ＞0，f(

2

3

)=

3

2

- log25  ＜0；
由函数零点的判定定理知：函数f（x）在(

1

2

，

2

3

)有零点，又因为f（x）在（0，1）上为减函数，所以f（x）在（0，1）上有且只有一个零点，
因为f（x）是奇函数，所以f（x）在（-1，0）上有且只有一个零点，
所以函数f(x)=

1

x

-log2(

1+x

1-x

)有两个零点．
故答案为：2

点评：本题考查函数的零点问题，用到了函数的奇偶性，函数的单调性，函数零点的判定定理．
本题的关键：①函数是奇函数，对称区间上的零点个数一样；②单调函数若在区间上有零点则仅有一个．