Question

（1）证明函数f(x)=

1

x

的奇偶性．
（2）用单调性的定义证明函数f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，再利用奇函数的定义，即可证得函数为奇函数；
（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．

解答：解：（1）f(x)=

1

x

的定义域为{x|x≠0}，

∵f(-x)=- 1 x =-f(x) ∴f(x)是奇函数

（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
由x₁，x₂∈（0，+∞），得x₁x₂＞0，
又由x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．