Question

已知函数f(x)=|

1

x

-1|，其中x∈（o，+∞）．
（I）在给定的坐标系中，画出函数f（x）的图象；
（II）设0＜a＜b，且f（a）=f（b），证明：ab＞1．

Answer 1

分析：（I）去绝对值号将函数变为分段函数，即f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

分段作出图象即可；
（II）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，由f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

得到关于ab的不等式，解出不等式的解集，由解集确定ab＞1．

解答：证明：（I）不等式可以变为f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
其图象为：
（II）：由题意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，故ab＞1．

点评：本题考点是函数的图象、绝对值不等式的解法，考查利用绝对值不等式这一工具证明不等式，二者的结合点相当隐蔽，本题需要对题设条件进行转化证明，请注意体会这里的技巧．