Question

已知函数f(x)=

1

x

与g(x)=-x2+bx的图象只有两个公共点A、B，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求b，x₁及x₂的值．

Answer 1

分析：构造函数设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．利用函数与导数知识求解．

解答：解：设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x=

2

3

b．这样，必须且只须F（0）=0或F（

2

3

b）=0，因为F（0）=1，故必有F（

2

3

b）=0，由此得b=

3

2

3	2

．
不妨设x₁＜x₂，则x₂=

2

3

b=

3	2

，所以 F（x）=（x-x₁）(x-

3	2

)2，比较系数得-x1

3	4

=1，故x₁=-

1

2

3	2

．
故b=

3

2

3	2

，x₁=-

1

2

3	2

，x₂=

2

3

b=

3	2

．

点评：本题考查的是函数图象，但若直接利用图象其实不易判断，为此利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题的能力．题目立意较高，很好的考查能力．