Question

已知函数f（x）=2sin（2ωx-

π

3

）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）有相同的对称中心．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将函数g（x）的图象向右平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数h（x）的图象，求函数h（x）在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得f（x），g（x）的周期相同，求出ω的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（2）由条件利用诱导公式可得

π

2

+ϕ=-

π

3

+kπ，k∈Z，求得ϕ=

π

6

，可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得h（x）的范围．

解答： 解：（1）∵f（x），g（x）有相同的对称中心，∴f（x），g（x）的周期相同．
由题知g（x）的周期为

2π

2

=π，故对f（x），由

2π

2ω

=π，得ω=1，∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)．
则-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

12

+kπ ，  

5π

12

+kπ]，k∈Z．
（2）∵g（x）=cos（2x+φ）=sin（2x+φ+

π

2

），f（x）=2sin（2x-

π

3

）与g（x）有相同的对称中心，
∴φ+

π

2

=kπ-

π

3

，k∈Z，结合|ϕ|＜

π

2

，得ϕ=

π

6

，∴g（x）=cos（2x+

π

6

）．
∴h（x）=cos[2（x-

π

6

）+

π

6

]+1=cos（2x-

π

6

）+1．
∵x∈[-

π

3

 ，  

π

3

]，则2x-

π

6

∈[-

5π

6

 ，  

π

2

]，由余弦函数的图象可知cos(2x-

π

6

)∈[-

3

2

 ，  1]，
∴h（x）∈[-

3

2

，1]．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．