题目内容
19．已知向量$\overrightarrow a=（4，3）$，$\overrightarrow b=（1，2）$．（1）设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）若$\overrightarrow a-λ\overrightarrow b$与$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$垂直，求实数λ的值..
分析 （1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算，即可求出$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的夹角余弦值；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．
解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（4，3）$，$\overrightarrow b=（1，2）$，则
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4×1+3×2=10，
且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，则
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{10}{5×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）若$\overrightarrow a-λ\overrightarrow b$与$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$垂直，
则（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+（1-2λ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
所以2×52+10（1-2λ）-5λ=0，
解得λ=$\frac{12}{5}$．
点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．
| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $\frac{2}{9}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{4}{9}$ |
| A． | 若A，B，C是平面内的三点，则$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ | |
| B． | 若$\overrightarrow{e_1}、\overrightarrow{e_2}$是两个单位向量，则$\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}$ | |
| C． | 若$\overrightarrow a、\overrightarrow b$是任意两个向量，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|≤|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|$ | |
| D． | 向量$\overrightarrow{e_1}=（0，0），\overrightarrow{e_2}=（1，-2）$可以作为平面内所有向量的一组基底 |
已知f′（x）是f（x）的导数，且y=xf′（x）的图象如图所示，则下列关于f（x）说法正确的是（ ）| A． | 在（-∞，0）上是增函数 | B． | 在（-1，1）上是增函数 | ||
| C． | 在（-1，0）上是增函数 | D． | 在（1，+∞）上是减函数 |