Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{FC}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．

解答 解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=2，
∴A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，2），D（0，2），
∵点E为BC的中点，
∴E（$\sqrt{2}$，1），
∵点F在边CD上，且$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{FC}$，
∴F（$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2}$，2），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于中档题．