题目内容
8．若曲线y=ax2+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则a+b的值等于-3．分析 由曲线y=ax2+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，可得y|x=2=-5，且y′|x=2=-$\frac{7}{2}$，解方程可得答案．
解答 解：∵直线2x-7y+3=0的斜率k=$\frac{2}{7}$，
∴切线的斜率为-$\frac{7}{2}$，
曲线y=ax2+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，
∴y′=2ax-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+\frac{b}{2}=-5}\\{4a-\frac{b}{4}=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2，
故a+b=-3，
故答案为：-3
点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=-5，且y′|x=2=-$\frac{7}{2}$，是解答的关键．
练习册系列答案
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3．命题“对任意x∈R，都有f（x）≤0”的否定是（ ）
| A． | 对任意x∈R，都有f（x）＞0 | B． | 存在x∈R，使f（x）＞0 | ||
| C． | 存在x∈R，使f（x）≥0 | D． | 对任意x∈R，都有f（x）≥0 |
（理）已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（2，\sqrt{2}）$．