Question

已知函数f（x）=x³-x．
（1）求曲线y=f（x）在x=t处的切线方程；
（2）若在x轴的正半轴上存在一点P（a，0），过点P可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切线的斜率和切点，由点斜式写出切线方程；
（2）如果存在一条切线经过点（a，0），（a＞0），则存在t，使（3t²-1）a-2t³=0．于是若过点P可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程（3t²-1）a-2t³=0．有三个不同的实数根，构造函数g（t）=2t³-3at²+a，求出导数，求出单调区间和极值，令极小值小于0，极大值大于0，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-1，f′（t）=3t²-1，
∴曲线y=f（x）在x=t处的切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果存在一条切线经过点（a，0），（a＞0），
则存在t，使（3t²-1）a-2t³=0．
于是若过点P可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程（3t²-1）a-2t³=0．有三个不同的实数根，
记g（t）=2t³-3at²+a，g′（t）=6t²-6at=6t（t-a），
若g′（t）＞0，则则t＜0，或t＞a，g′（t）＜0，则0＜t＜a，
故g（t）在t=0处有极大值a，在t=a处有极小值a-a³，
要g（t）=0有3个不同的实根，
则a＞0且a-a³＜0，解得a＞1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，以及极值，考查方程和函数的转化思想，极值的符号与零点的个数的关系，属于中档题．