Question

若数列{a_n}（n∈N^*）满足：（1）a_n≥0；（2）a_n-2a_n+1+a_n+2≥0；
（3）a₁+a₂+…+a_n≤1，则称数列{a_n}为“和谐”数列．
（Ⅰ）验证数列{a_n}，{b_n}，其中an=

1

n(n+1)

，bn=

1

2n

是否为“和谐”数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}为“和谐”数列，证明：0≤an-an+1＜

2

n2

．

Answer 1

分析：本题考查的是演绎推理，要判断一个数列是否是“和谐”数列，关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义．
（1）中要判断数列{a_n}（或{b_n}）是否为和谐数列，则要判断①a_n≥0（或b_n≥0）②a_n-2a_n+1+a_n+2≥0（或b_n-2b_n+1+b_n+2≥0）③a₁+a₂+…+a_n≤1（或b₁+b₂+…+b_n≤1）三个条件，如果全部符合，则为“和谐数列”对于（2）直接证明有难度，可以使用反证法来证明，即若若a_n-a_n+1≥0不恒成立，则数列{a_n}不为“和谐”数列，这与已知相矛盾，从而得到结论恒成立．

解答：解：（Ⅰ）数列{a_n}为“和谐”数列；数列{b_n}不是“和谐”数列．
数列{a_n}显然符合（1）
因为an-2an+1+an+2=

1

n(n+1)

-

2

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

=

6

n(n+1)(n+2)(n+3)

＞0所以符合（2）
因为a1+a2++an=

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

＜1，所以符合（3）
所以数列{a_n}为“和谐”数列．
对于数列{b_n}，有b_n＞0b1+b2++bn＞b1+b2+b3+b4=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

8

=

12+6+4+3

24

=

25

24

＞1，
所以数列{b_n}不满足（3），因此数列{b_n}不是“和谐”数列．
（Ⅱ）反证法：若a_n-a_n+1≥0不恒成立，即存在自然数k，a_k-a_k+1＜0，a_k+1＞a_k，
由（2）可知，a_k+2-a_k+1≥a_k+1-a_k＞0，得a_k+2＞a_k+1，
依此类推当n≥k时，{a_n}递增，与对任意n，与a₁+a₂++a_n≤1矛盾，
所以a_n-a_n+1≥0
构造数列{b_n}，令b_n=a_n-a_n+1
由（2）可知a_n-a_n+1≥a_n+1-a_n+2，∴b_n≥b_n+1，a₁+a₂++a_n=a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）++[-（n-1）a_n+na_n]≥a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）++[-（n-1）a_n+na_n]-na_n+1
=（a₁-a₂）+2（a₂-a₃）++n（a_n-a_n+1）=b₁+2b₂++nb_n≥（1+2++n）b_n
=

n(n+1)

2

bn，
由（3）知

n(n+1)

2

bn≤a1+a2++an≤1
得：bn≤

2

n(n+1)

＜

2

n2

即：an-an+1＜

2

n2

，所以0≤an-an+1＜

2

n2

点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．当我们从正面证明一个结论比较麻烦或根本证明不了时，可利用反证法来证明结论．