Question

已知函数y=f（x）是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}的n项和为S_n，且满足a₁=f（0），f(an+1)=

1	f(3n+1-2an)

（n∈N^*），则S_n=

 

．

Answer 1

分析：首先求出特殊值f（0），然后结合f（x）f（y）=f（x+y）把已知条件变形为a_n+1与a_n的关系式，进一步整理得数列{a_n+3ⁿ⁺¹}为等比数列，再运用等比数列通项公式求得a_n，最后分别运用等比数列前n项和公式求得S_n．

解答：解：因为任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，
所以f（0）f（0）=f（0），即f（0）•（f（0）-1）=0，
解得f（0）=1，即a₁=1，
又f（a_n+1）•f（3ⁿ⁺¹-2a_n）=1，即f（a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n）=f（0），
所以a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n=0，
则a_n+1+3ⁿ⁺¹+2×3ⁿ⁺¹=2a_n+2×3ⁿ⁺¹，，即

an+1+3n+2

an+3n+1

=2，
所以数列{a_n+3ⁿ⁺¹}是首项为10，公比为2的等比数列，
则a_n+3ⁿ⁺¹=10×2^n-1，即a_n=5×2ⁿ-3ⁿ⁺¹，
所以S_n=5×

2(1-2n)

1-2

-

32(1-3n)

1-3

=5×2n+1-

3n+2+11

2

．
故答案为5×2n+1-

3n+2+11

2

．

点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，同时考查函数的单调性等．