题目内容
已知函数f（x）=
的图象过原点，且关于点（1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
)]2，求数列{an}的通项公式an．
| bx+c |
| x+1 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
| an |
分析：（1），易知c=0，即f(x)=
．又函数f(x)=
=b-
的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以b=1，f(x)=
（2）由题意an+1=[f(
)]2，开方取正得：
=
，即
=
+1，得出数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列．通过数列{
}的通项公式求数列{an}的通项公式an
| bx |
| x+1 |
| bx |
| x+1 |
| b |
| x+1 |
| x |
| x+1 |
（2）由题意an+1=[f(
| an |
| an+1 |
| ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
解答：解：（1）因为函数f(x)=
的图象过原点，
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=
．
又函数f(x)=
=b-
的图象关于点（-1，1）成中心对称，
所以b=1，f(x)=
（2）由题意an+1=[f(
)]2，开方取正得：
=
，即
=
+1，所以
-
=1，
∴数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴
=1+（n-1）=n，
即
=
，
∴an=
．
| bx+c |
| x+1 |
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=
| bx |
| x+1 |
又函数f(x)=
| bx |
| x+1 |
| b |
| x+1 |
所以b=1，f(x)=
| x |
| x+1 |
（2）由题意an+1=[f(
| an |
| an+1 |
| ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
∴数列{
| 1 | ||
|
∴
| 1 | ||
|
即
| an |
| 1 |
| n |
∴an=
| 1 |
| n2 |
点评：本题是函数与数列的综合题．考查分式函数的性质，数列通项公式求解．考查转化构造，运算求解能力．
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