Question

已知函数f(x)=

bx+c

x+1

的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列a_n（n∈N*）满足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求数列a_n的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）因为函数f(x)=

bx+c

x+1

的图象过原点，即f（0）=0，可以解出c=0，再有对称性可以求出b值，即得函数的解析式．
（2）由（1）的结论，可以得到f(x)=

x

x+1

，故可得

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1由此可以得到 数列{

1

an

}的性质的，可求数列a_n的通项公式．

解答：解：（1）因为函数f(x)=

bx+c

x+1

的图象过原点，即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函数f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以b=1，
∴f(x)=

x

x+1

．

（2）∵an+1=[f(

an

)]2，由（1）的结论开方得：

an+1

=

an

an +1

，
变形得

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1．
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

点评：本题考点是奇偶函数的图象的对称性，考查利用函数的对称性求求解析式，在第二问中用到了间接法求数列的通项公式，变形技巧值在学习中借鉴．