Question

12．已知数列{a_n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=2时，分别有$S=\frac{1}{3}和S=\frac{2}{5}$．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}={3^n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由循环结构可得：${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$，S_k=2=$\frac{1}{d}$$（\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}）$，解出即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由循环结构可得：${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+d}）$，${S_{k=2}}=\frac{1}{d}（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+d}}+\frac{1}{{{a_1}+d}}-\frac{1}{{{a_1}+2d}}）=\frac{1}{d}（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+2d}}）=\frac{2}{5}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-1\\ d=-2\end{array}\right.$（舍去），则a_n=1+（n-1）2=2n-1．
（2）${T_n}=3×1+{3^2}×3+…+{3^{n-1}}（2n-3）+{3^n}（2n-1）$，
$3{T_n}={3^2}×1+{3^3}×3+…+{3^n}（2n-3）+{3^{n+1}}（2n-1）$，
则$2{T_n}=-3-2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）+…+{3^{n+1}}（2n-1）={3^{n+1}}（2n-1）+\frac{{3（{3^n}-1）}}{2}$，
∴${T_n}=3+（n-1）{3^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、循环结构，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．