Question

【题目】已知点P为曲线C上任意一点， ，直线、的斜率之积为．

（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；；

（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（I）设点，由,整理得可得.

（II）设点，取MN的中点H，则，则可转化为,联立直线与椭圆，结合韦达定理建立关于斜率k的方程，求解即可.

试题解析：（I）设点，则

整理得：

故曲线的轨迹方程为：

.

（II）假设存在直线满足题意．

显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．

①当直线的斜率时，设直线为：

联立，化简得：

由，解得

设点，，则

取的中点，则，则

即 ，化简得，无实数解，故舍去．

②当时， 为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为．

综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为．