Question

【题目】设数列的前n项和为，满足，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）是否存在一个奇数，使得数列中的项都在数列中？若存在，找出符合条件的一个奇数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）利用 将原递推公式进行化简，可得，进而可得，两式相减可得，再根据等差数列的定义可得数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，由此即可求出结果；

（2）当时，由可得，，所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，和，记，当为奇数时，为奇数，而为偶数；所以不是数列中的项，只可能是中的项；若是数列中的项，由，得，取，得，此时，由得，即可求出结果.

（1）当时，由已知得

于是

由得：

于是

由得：

由，，可得，，又

所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列

，即时，

，即时，

∴

（2）当时，由可得，

所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列

由题设知，记，当为奇数时，为奇数，而为偶数

不是数列中的项，只可能是中的项

若是数列中的项，由，得

取，得，此时

由得，即

故是数列中的第项

【点精】

本题主要考查了等差数列和等比数列的定义和性质，同时也考查了数列递推公式的应用，本题属于中档题.