Question

20．设函数$f（x）=a{x^2}-\frac{1}{2}-lnx$，曲线y=f（x）在x=2处与直线2x+3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，证明f（x）＞$\frac{1}{x}$-e^1-x．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，计算f′（2），求出a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；
（2）令$g（x）=f（x）-（\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}）$，由$\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}=\frac{{{{e}^{x-1}}-x}}{{x{{e}^{x-1}}}}$，令h（x）=e^x-1-x，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}$，…（2分）
由已知得$f'（2）=\frac{3}{2}$，所以$a=\frac{1}{2}$，…（3分）
所以$f'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}$，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得0＜x＜1，
故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．                                       …（5分）
（2）令$g（x）=f（x）-（\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}）$，则$g'（x）=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-{{e}^{1-x}}$，…（6分）
由$\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}=\frac{{{{e}^{x-1}}-x}}{{x{{e}^{x-1}}}}$，令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1，
当x＞1时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以h（x）＞h（1）=0，所以$\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}＞0$，即：$-{{e}^{1-x}}＞-\frac{1}{x}$，…（9分）
所以$g'（x）＞x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}$，而$x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{{{x^3}-2x+1}}{x^2}＞\frac{{{x^2}-2x+1}}{x^2}＞0$，
所以g'（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以g（x）＞g（1）=0，即：$f（x）＞\frac{1}{x}-{{e}^{1-x}}$                             …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．