Question

19．在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃+a₄=17．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，求S_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d，解方程，即可得到所求通项；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
可得2a₁+d=5，2a₁+5d=17，
解得a₁=1，d=3，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
则前n项和S_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．