Question

（1）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³-ax²-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于

 

．
（2）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题

分析：（1）求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值；
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解即可．

解答： 解：（1）由题意，求导函数f′（x）=12x²-2ax-2b，
∵在x=1处有极值，
∴a+b=6，
∵a＞0，b＞0，
∴ab≤（

a+b

2

）²=9，当且仅当a=b=3时取等号，
所以ab的最大值等于9．
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…，a_n-a_n-1=n，
累加得 a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=

(n-1)(n+1)

2

，
∴a_n=

n2-n+2

2

．
故答案为：9，

n2-n+2

2

．

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等；考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法．