Question

8．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且f（x）在（2，+∞）上为增函数．已知x₁+x₂＜4且（x₁-2）•（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A． 恒小于0
• B． 恒大于0
• C． 可能等于0
• D． 可正也可负

Answer 1

分析 根据f（-x）=-f（x+4）便可知f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，从而便知f（x）在R上单调递增，从而可以画出草图，而由（x₁-2）（x₂-2）＜0知，x₁，x₂位于（2，0）的两边．不妨设x₁＜x₂，再由x₁+x₂＜4可得到（x₁-2）+（x₂-2）＜0，从而x₁离（2，0）的距离大于x₂离（2，0）的距离，这样根据图象即可判断f（x₁）+f（x₂）的取值情况．

解答 解：f（-x）=-f（x+4）；
∴f（x）的图象关于点（2，0）对称；
又f（x）在（2，+∞）上为增函数；
∴f（x）在R上为增函数，画出f（x）的草图如下：

（x₁-2）（x₂-2）＜0；
∴x₁-2和x₂-2异号；
即x₁，x₂位于点（2，0）的两侧，不妨设x₁＜x₂；
x₁+x₂＜4；
∴（x₁-2）+（x₂-2）＜0；
∴x₁离点（2，0）更远，根据图象可以看出f（x₁）+f（x₂）＜0．
故选：A．

点评 考查中心对称的概念，由f（-x）=-f（x+a）能够知道f（x）关于$（\frac{a}{2}，0）$对称，关于中心对称的函数在对称区间上的单调性一致，画出草图是求解本题的关键．