Question

7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，-2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由抛物线的定义可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，
因此，抛物线C的方程为y²=4x；其准线方程为x=-1．…（5分）
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，（OA的方程为：y=-2x）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²+2 y-2 t=0．…（7分）
因为直线l与抛物线C有公共点，所以得△=4+8 t，解得t≥-1/2．…（8分）
另一方面，由直线OA与l的距离d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，可得$\frac{|t|}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，解得t=±1．…（10分）
因为-1∉[-$\frac{1}{2}$，+∞），1∈[-$\frac{1}{2}$，+∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1=0．…（12分）

点评 本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．