Question

已知点M是圆O：x²+y²=a²上任意一点，M在x轴上的射影为N，在线段OM上取点P，使得|OP|=|MN|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：设出P的坐标，化圆O的方程为参数方程，得到M的坐标，把P的坐标用含有参数θ的代数式表示，分类消掉参数θ得答案．

解答： 解：（1）设P（x，y），
∵圆O：x²+y²=a²，
∴设M（acosθ，asinθ），
∴|OP|=|MN|=|asinθ|，
则

x=|asinθ|cosθ y=|asinθ|sinθ

，θ∈[0，2π），
不妨设a＞0，
当θ∈[0，π]时，

x=asinθcosθ y=asin2θ

，消掉参数θ得x²+y²-ay=0（y≥0）；
当θ∈（0，2π）时，

x=-asinθcosθ y=-asin2θ

，消掉参数θ得x²+y²+ay=0（y＜0）．
∴点P的轨迹方程为x²+y²-ay=0（y≥0），x²+y²+ay=0（y＜0）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆的参数方程，解答此题的关键是想到利用圆的参数方程求解，是中档题．