Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an(an+12+1)

an2+1

n∈N）．
（1）求a_n+1与a_n之间的递推关系式a_n+1=f（a_n）；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₄的整数部分．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+2=

an(an+12+1)

an2+1

，可得

an+2

an+1- 1 an+1

=

an+1

an- 1 an

=…=

2

1- 1 1

=1，即可得出a_n+1与a_n之间的递推关系；
（2）证明数列{a_n}是递增数列，a_n²-a_n-1²=

1

an-12

-2，即可证明结论；
（3）a₂₀₁₄²=

1

a20132

+

1

a20122

+…+

1

a12

-2（2014-1），再进行放缩，即可求出a₂₀₁₄的整数部分．

解答： （1）解：由a_n+2=

an(an+12+1)

an2+1

，可得

an+2

an+1- 1 an+1

=

an+1

an- 1 an

，
∴

an+2

an+1- 1 an+1

=

an+1

an- 1 an

=…=

2

1- 1 1

=1，
∴a_n+1=a_n-

1

an

；
（2）证明：∵a₁=1，a_n+1=a_n-

1

an

，
∴数列{a_n}是递增数列，
∴0＜

1

an2

≤1，
n≥2时，a_n²=（a_n-1-

1

an-1

）²=a_n-1²+

1

an-12

-2，
∴a_n²-a_n-1²=

1

an-12

-2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）解：∵a_n²=a_n-1²+

1

an-12

-2，
∴a₂₀₁₄²=

1

a20132

+

1

a20122

+…+

1

a12

-2（2014-1）
∵n≥3时，an2＞2n，
∴a₂₀₁₄²＜4026+1+

1

4

+…+

1

2×2013

=4027+

1

2

[（

1

2

+

1

3

+…+

1

39

）+（

1

40

+…+

1

199

）+（

1

200

+…+

1

2013

）]
＜4027+

1

2

（

1

2

×38+

1

40

×160+

1

200

×1814）
＜4027+

1

2

（19+4+10）＜4096=64²，
∴63＜a₂₀₁₄＜64，
∴a₂₀₁₄的整数部分为63．

点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．