Question

13．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）ABC-A₁B₁C₁中，D是AC边的中点．
（1）求证：AB₁∥平面DBC₁；
（2）当CA₁⊥AB₁时，求证：CA₁⊥平面DBC₁．

Answer 1

分析 （1）连接CB₁，设与BC₁交于点E，则E为CB₁的中点，由三角形的中位线的性质可求DE∥AB₁，进而可证AB₁∥平面DBC₁；
（2）由CA₁⊥AB₁，DE∥AB₁，可证CA₁⊥DE，利用正三棱柱的性质及面面垂直的性质可求BD⊥平面AA₁C₁C，进而利用线面垂直的性质可求BD⊥CA₁，利用线面垂直的判定定理即可得证．

解答 证明：（1）如图，连接CB₁，设与BC₁交于点E，则E为CB₁的中点，连接DE，
又∵D是AC边的中点．
∴DE∥AB₁，
∵DE?平面DBC₁；AB₁?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁；
（2）∵CA₁⊥AB₁，DE∥AB₁，
∴CA₁⊥DE，
又∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BD⊥平面AA₁C₁C，可得：BD⊥CA₁，
又DE∩BD=D，
∴CA₁⊥平面DBC₁．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，正三棱柱的性质及面面垂直的性质，线面垂直的性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．