Question

（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90º，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。
（1）求直线FD与平面ABCD所成的角；
（2）求点D到平面BCF的距离；
（3）求二面角B—FC—D的大小。

Answer 1

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90º，即EA⊥AB，而平面ABFE平面ABCD=AB，∴EA⊥平面ABCD。作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD。连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角。
在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，
∴,∴∠FDH=,
即直线FD与平面ABCD所成的角为。
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD。
分别以AD,AB,AE所在直线为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
     A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、
F(0,1,1),
∴
∵∴⊥平面BCF，
即=(0,1,1)为平面BCF的一个法向量，
又，
∴点D到平面BCF的距离为。
（3）∵，设为平面CDEF的一个法向量，
则令，得，
即。
又（1）知，为平面BCF的一个法向量，
∵〈,〉=，
且二面角B—FC—D的平面角为钝角，
∴二面角B—FC—D的大小为120º。

略