题目内容
已知f（x）=
（x≠a）．
（1）若a=-2，试证f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．
| x |
| x-a |
（1）若a=-2，试证f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．
（1）证明任设x1＜x2＜-2，
则f（x1）-f（x2）=
-
=
．
∵（x1+2）（x2+2）＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，-2）内单调递增．
（2）解任设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
-
=
∵a＞0，x2-x1＞0，
∴要使f（x1）-f（x2）＞0，只需（x1-a）（x2-a）＞0恒成立，
∴a≤1．
综上所述，0＜a≤1．
则f（x1）-f（x2）=
| x1 |
| x1+2 |
| x2 |
| x2+2 |
=
| 2(x1-x2) |
| (x1+2(x2+2) |
∵（x1+2）（x2+2）＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，-2）内单调递增．
（2）解任设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
| x1 |
| x1- a |
| x2 |
| x2- a |
=
| a×(x2--x1) |
| (x1- a)×(x2-a) |
∵a＞0，x2-x1＞0，
∴要使f（x1）-f（x2）＞0，只需（x1-a）（x2-a）＞0恒成立，
∴a≤1．
综上所述，0＜a≤1．
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