Question

已知f（x）=

x

x-a

（x≠a）．
（1）若a=-2，试证f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性定义进行证明．
（2）利用函数单调性定义，进而解含有a的不等式即可得解．

解答：解：（1）证明任设x₁＜x₂＜-2，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

2(x1-x2)

(x1+2(x2+2)

．
∵（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-2）内单调递增．
（2）解任设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1- a

-

x2

x2- a

=

a×(x2--x1)

(x1- a)×(x2-a)

∵a＞0，x₂-x₁＞0，
∴要使f（x₁）-f（x₂）＞0，只需（x₁-a）（x₂-a）＞0恒成立，
∴a≤1．
综上所述，0＜a≤1．

点评：（1）考查函数单调性的定义．
（2）考查函数单调性的应用，解含参数的不等式等知识．