Question

1．?x∈（0，$\frac{π}{2}$）都有：f（x）＞0且f（x）＜f′（x）tanx，则下列各式成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，得到函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，利用单调性判断即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）•sinx-f（x）•cosx}{si{n}^{2}x}$，
∵f（x）＜f′（x）tanx，?x∈（0，$\frac{π}{2}$）都有：f（x）＞0，
∴f（x）cosx＜f′（x）sinx，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
∴g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
故选：D．

点评 本题综合考查了导数的运用，结合单调性判断大小，关键是根据题意得出构造的函数，才能够利用导数解决，属于中档题．