题目内容

5．△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，$\overrightarrow{m}$=（sinB，5sinA+5sinc）与$\overrightarrow{n}$=（5sinB-6sinC，sinC-sinA）垂直．（1）求sinA的值；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积S的最大值．

分析 （1）利用向量垂直得出恒等式，使用正弦定理将角化边得出a，b，c的关系，利用余弦定理求出A；
（2）使用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，从而得出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴sinB（5sinB-6sinC）+（5sinA+5sinC）（sinC-sinA）=0，
∴5b2-6bc+5（c2-a2）=0，即b2+c2-a2=$\frac{6bc}{5}$．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3}{5}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
（2）在△ABC中，∵b2+c2-a2=$\frac{6bc}{5}$，∴b2+c2=$\frac{6bc}{5}+8$≥2bc，∴bc≤10．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{2}{5}$bc≤4．
∴△ABC的面积S的最大值是4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，正余弦定理，基本不等式，解三角形，属于中档题．

练习册系列答案
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