Question

已知曲线y=x²+1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能过做出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设经过点（1，a）能过做出该曲线的两条切线，设切线方程为y-a=k（x-1），与抛物线方程联立化为x²-kx+k-a+1=0，可得△=0，化为k²-4k+4a-4=0，上述方程有两个实数根，△₁=16-4（4a-4）＞0，解出即可．

解答： 解：设经过点（1，a）能过做出该曲线的两条切线，
设切线方程为y-a=k（x-1），
联立

y-a=k(x-1) y=x2+1

，化为x²-kx+k-a+1=0，
∴△=k²-4（k-a+1）=0，
化为k²-4k+4a-4=0，
由于过点（1，a）能过做出该曲线的两条切线，
∴上述方程由两个实数根，
∴△₁=16-4（4a-4）＞0，
解得a＜2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2）．

点评：本题考查了抛物线的切线、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．